Cách để Tìm giao điểm bằng phương pháp đại số

Khi hai đường thẳng giao nhau trên hệ tọa độ hai chiều, chúng chỉ gặp nhau tại một điểm được thể hiện bằng cặp tọa độ x và y. Vì cả hai đường thẳng đều đi qua điểm đó nên cặp tọa độ x, y phải thỏa mãn cả hai phương trình. Với một số kỹ thuật bổ sung, bạn có thể tìm được giao điểm của đường parabôn và các đường cong bậc hai khác bằng cách lập luận tương tự.

Phương pháp 1 trong 2:
Tìm giao điểm của hai đường thẳng

  1. 1
    Viết phương trình của mỗi đường thẳng với y nằm ở vế bên trái. Nếu cần, chuyển vế phương trình sao cho chỉ có y ở một bên dấu bằng. Nếu phương trình sử dụng f(x) hoặc g(x) thay cho y thì hãy tách số hạng này. Nhớ rằng bạn có thể triệt tiêu các số hạng bằng cách thực hiện phép toán giống nhau cho cả hai vế.
    • Nếu đề bài không cho biết phương trình thì bạn tìm chúng từ các thông tin đã có.
    • Ví dụ: Hai đường thẳng có phương trình là . Trong phương trình thứ hai, để vế bên trái chỉ có y thì bạn cộng 12 cho cả hai vế:
  2. 2
    Đặt vế phải của hai phương trình bằng nhau. Chúng ta đang tìm điểm mà hai đường thẳng có cùng tọa độ x, y; đây là vị trí hai đường giao nhau. Cả hai phương trình đều chỉ có y ở vế bên trái, nên vế phải của chúng sẽ bằng nhau. Viết phương trình mới để thể hiện điều này.
    • Ví dụ: Chúng ta biết , do đó .
  3. 3
    Giải tìm x. Phương trình mới chỉ có một biến số x. Giải phương trình bằng phương pháp đại số, nghĩa là thực hiện cùng phép toán cho cả hai vế. Chuyển hết các số hạng có x sang một vế phương trình, sau đó đưa về dạng x = __. (Nếu bạn không làm được thì lướt xuống cuối phần này).
    • Ví dụ:
    • Cộng vào hai vế:
    • Trừ 3 vào hai vế:
    • Chia hai vế cho 3:
    • .
  4. 4
    Sử dụng giá trị x để tìm y. Chọn phương trình của một trong hai đường thẳng. Thay giá trị x vừa tìm được vào phương trình này. Giải tìm y bằng phương pháp số học.
    • Ví dụ:
  5. 5
    Kiểm tra kết quả. Bạn nên thay giá trị x vào phương trình còn lại để xem có nhận được kết quả giống nhau hay không. Nếu nhận được giá trị y khác thì bạn phải kiểm tra lại bài làm của mình.
    • Ví dụ:
    • Như vậy chúng ta nhận được cùng một giá trị y. Bài giải không có sai sót nào.
  6. 6
    Viết cặp tọa độ x, y của giao điểm. Bây giờ bạn đã tìm được cặp tọa độ x, y nơi hai đường thẳng giao nhau. Viết ra điểm này theo cặp tọa độ, với giá trị x nằm trước.
    • Ví dụ:
    • Hai đường giao nhau tại (3,6).
  7. 7
    Xử lý các trường hợp bất thường. Một số phương trình không thể giải để tìm x. Điều này không hẳn là do bạn mắc sai sót. Phương trình của cặp đường thẳng có thể có nghiệm bất thường trong hai trường hợp sau:
    • Nếu hai đường đó song song thì chúng không giao nhau. Các số hạng x sẽ bị triệt tiêu và phương trình được đơn giản thành một mệnh đề sai (chẳng hạn ). Viết đáp án là "hai đường thẳng không giao nhau" hoặc "không có nghiệm thực".
    • Nếu hai phương trình biểu diễn cùng một đường thì chúng "giao nhau" ở mọi điểm. Các số hạng x sẽ bị triệt tiêu và phương trình được đơn giản thành một mệnh đề đúng (chẳng hạn ). Viết đáp án là "hai đường thẳng trùng nhau".
    Quảng cáo

Phương pháp 2 trong 2:
Các bài toán có phương trình bậc hai

  1. 1
    Nhận biết phương trình bậc hai. Trong phương trình bậc hai, một hay nhiều biến số sẽ có lũy thừa ( hoặc ), và không có biến số nào có lũy thừa cao hơn. Đồ thị của các phương trình này có dạng đường cong, do đó chúng có thể cắt đường thẳng tại 0, 1, hoặc 2 điểm. Phần này hướng dẫn bạn cách tìm các giao điểm đó của bài toán.
    • Khai triển phương trình từ ngoặc đơn để kiểm tra xem chúng có dạng bậc hai hay không. Ví dụ, có dạng bậc hai vì nó được khai triển thành
    • Các phương trình của đường tròn và ellip có cả số hạng .[1][2] Nếu bạn gặp khó khăn với các trường hợp đặc biệt này thì xem Lời khuyên dưới đây.
  2. 2
    Viết các phương trình theo y. Nếu cần, chuyển vế từng phương trình sao cho chỉ có y ở một bên dấu bằng.
    • Ví dụ: Tìm giao điểm của .
    • Viết lại phương trình bậc hai theo y:
    • .
    • Ví dụ này có một phương trình bậc hai và một phương trình tuyến tính. Các bài toán với hai phương trình bậc hai cũng được giải tương tự.
  3. 3
    Kết hợp hai phương trình để triệt tiêu y. Sau khi bạn chuyển vế hai phương trình theo y, hai vế không có y sẽ bằng nhau.
    • Ví dụ:
  4. 4
    Biến đổi phương trình mới sao cho một vế bằng không. Sử dụng phương pháp đại số để chuyển tất cả số hạng về một vế. Như vậy bài toán đã sẵn sàng để giải trong bước kế tiếp.
    • Ví dụ:
    • Trừ x vào hai vế:
    • Trừ 7 vào hai vế:
  5. 5
    Giải phương trình bậc hai. Sau khi chuyển vế phương trình bằng không thì bạn có ba cách giải, việc chọn cách giải nào sẽ tùy thuộc vào mỗi người. Bạn có thể học cách dùng công thức nghiệm bậc hai hoặc phương pháp "phần bù bình phương", hoặc xem ví dụ dưới đây về phương pháp phân tích thành thừa số:
    • Ví dụ:
    • Mục đích của phương pháp phân tích thành thừa số là tìm hai thừa số để khi nhân với nhau sẽ tạo thành phương trình. Bắt đầu với số hạng đầu tiên, chúng ta biết có thể phân tích thành x và x. Viết thành dạng (x    )(x    ) = 0.
    • Số hạng cuối cùng là -6. Liệt kê từng cặp thừa số mà khi nhân cho nhau sẽ bằng -6: , , , và .
    • Số hạng ở giữa là x (có thể viết là 1x). Cộng từng cặp thừa số với nhau đến khi bạn có kết quả là 1. Cặp thừa số đúng là , vì .
    • Điền cặp thừa số này vào chỗ chừa trống trong đáp án: .
  6. 6
    Lưu ý là chúng ta có hai nghiệm x. Nếu bạn giải quá nhanh thì có thể chỉ tìm được một nghiệm mà không nhận ra còn có nghiệm thứ hai. Đây là cách tìm hai nghiệm x đối với các đường giao nhau tại hai điểm:
    • Ví dụ (phân tích thành thừa số): Cuối cùng chúng ta có phương trình . Nếu một trong hai thừa số bằng 0 thì phương trình thỏa mãn. Một nghiệm là . Nghiệm còn lại là .
    • Ví dụ (công thức nghiệm bậc hai hoặc phần bù bình phương): Nếu bạn sử dụng một trong hai cách này giải phương trình thì sẽ xuất hiện dấu căn bậc hai. Ví dụ, phương trình trở thành . Nhớ rằng số căn bậc hai có thể đơn giản thành hai nghiệm khác nhau: , . Viết hai phương trình cho mỗi trường hợp và giải tìm x tương ứng.
  7. 7
    Giải các bài toán có một nghiệm hoặc không có nghiệm. Hai đường chạm nhau một lần chỉ có một giao điểm, và hai đường không bao giờ chạm nhau sẽ không có giao điểm. Đây là cách nhận biết:
    • Một nghiệm: Bài toán có thể phân tích thành hai thừa số giống hệt nhau ((x-1)(x-1) = 0). Khi thay vào công thức nghiệm bậc hai thì số hạng có căn là . Bạn chỉ cần giải một phương trình.
    • Không có nghiệm thực: Không có thừa số nào có thể thỏa mãn yêu cầu (tổng bằng số hạng ở giữa). Khi thay vào công thức nghiệm bậc hai thì bạn có một số âm bên dưới dấu căn bậc hai (chẳng hạn ). Viết đáp án là "không có nghiệm".
  8. 8
    Thay các giá trị x vào phương trình ban đầu. Sau khi có giá trị x của giao điểm, bạn thay nó vào một trong các phương trình ban đầu. Giải tìm giá trị của y. Nếu bạn có hai giá trị x thì giải tìm hai giá trị y.
    • Ví dụ: Chúng ta tìm được hai nghiệm là . Một trong hai đường có phương trình . Thay vào , sau đó giải từng phương trình để tìm được .
  9. 9
    Viết tọa độ điểm. Bây giờ bạn viết đáp án dưới dạng tọa độ theo giá trị x và y của giao điểm. Nếu bạn có hai đáp án, nhớ viết các giá trị x và y theo đúng từng cặp.
    • Ví dụ: Khi thay vào, chúng ta có , do đó giao điểm có tọa độ (2, 9). Thực hiện tương tự cho nghiệm thứ hai sẽ cho tọa độ của giao điểm còn lại là (-3, 4).
    Quảng cáo

Lời khuyên

  • Các phương trình của đường tròn và ellip có một số hạng một số hạng . Để tìm giao điểm của đường tròn và đường thẳng, giải tìm x trong phương trình tuyến tính. Thay nghiệm vào x trong phương trình đường tròn và bạn sẽ có phương trình bậc hai dễ giải hơn. Các bài toán này có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm, như mô tả trong phương pháp nói trên.
  • Đường tròn và parabol (hoặc đường bậc hai khác) có thể có 0, 1, 2, 3 hoặc 4 nghiệm. Tìm biến số có lũy thừa 2 trong cả hai phương trình — giả sử là x2. Giải tìm và thay đáp án vào trong phương trình còn lại. Giải tìm y để có 0, 1 hoặc 2 nghiệm. Thay từng nghiệm vào lại phương trình bậc hai ban đầu để giải tìm x. Mỗi phương trình này có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm.

Về bài wikiHow này

wikiHow là một trang "wiki", nghĩa là nhiều bài viết ở đây là nội dung của nhiều tác giả cùng viết nên. Để tạo ra bài viết này, 16 người, trong đó có một số người ẩn danh, đã thực hiện chỉnh sửa và cải thiện bài viết theo thời gian.
Chuyên mục: Toán học

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?

Không
Quảng cáo