Cách để Giải hệ phương trình chứa hai biến số

Đối với "hệ phương trình", bạn sẽ phải giải hai hay nhiều phương trình cùng lúc. Khi các phương trình này có hai biến số khác nhau, chẳng hạn x và y hay a và b, ban đầu có thể bạn sẽ không biết cách giải. May mắn là tất cả những gì bạn cần chỉ là kỹ năng đại số cơ bản để giải hệ phương trình (đôi khi cần một chút kiến thức về phân số). Nếu bạn có thói quen học trực quan hoặc nếu giáo viên yêu cầu, bạn nên học cách vẽ đồ thị phương trình. Vẽ đồ thị có thể là cách hữu ích để "thấy điều gì đang diễn ra" hoặc để kiểm tra kết quả, nhưng cách này chậm hơn các cách giải khác và không hiệu quả đối với mọi hệ phương trình.

Phương pháp 1 trong 3:
Sử dụng phương pháp thay thế

  1. 1
    Chuyển vế các biến số trong phương trình. Phương pháp "thay thế" này bắt đầu bằng cách "giải tìm x" (hoặc bất kì biến số nào khác) của một trong hai phương trình. Ví dụ, giả sử bạn có các phương trình 4x + 2y = 85x + 3y = 9. Bắt đầu với phương trình đầu tiên. Biến đổi phương trình bằng cách trừ 2y vào hai vế để có: 4x = 8 - 2y.
    • Phương pháp này thường phải dùng phân số trong quá trình giải. Bạn có thể dùng phương pháp triệt tiêu dưới đây nếu không thích dùng phân số.
  2. 2
    Chia cả hai vế của phương trình để "giải tìm x." Sau khi bạn đã chuyển số hạng x (hoặc bất kì biến số nào bạn đang dùng) về một vế phương trình, hãy chia cả hai vế phương trình để chỉ còn một mình x. Ví dụ:
    • 4x = 8 - 2y
    • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
    • x = 2 - ½y
  3. 3
    Thay kết quả này vào phương trình còn lại. Bạn phải thay vào phương trình kia, không phải phương trình bạn đã sử dụng. Trong phương trình đó, bạn thay biến số đã tìm được để phương trình chỉ còn một biến. Ví dụ:
    • Bạn biết rằng x = 2 - ½y.
    • Phương trình thứ hai chưa được biến đổi là 5x + 3y = 9.
    • Trong phương trình thứ hai, thay x bằng "2 - ½y": 5(2 - ½y) + 3y = 9.
  4. 4
    Giải tìm biến số còn lại. Bây giờ bạn có một phương trình chỉ chứa một biến số. Sử dụng kỹ năng đại số cơ bản để giải tìm biến số đó. Nếu các biến số triệt tiêu, bạn hãy chuyển đến bước cuối cùng. Ngược lại, bạn sẽ thu được kết quả cho một trong các biến số của hệ:
    • 5(2 - ½y) + 3y = 9
    • 10 – (5/2)y + 3y = 9
    • 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Nếu bạn không hiểu bước này thì hãy học cách cộng phân số. Đây là kiến thức thường phải dùng trong phương pháp thay thế, nhưng không phải luôn luôn.)
    • 10 + ½y = 9
    • ½y = -1
    • y = -2
  5. 5
    Sử dụng đáp án này để tìm biến số còn lại. Đừng nhầm lẫn khi bạn chỉ mới giải được phân nửa bài toán. Bạn sẽ phải thay kết quả vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu, do đó bạn có thể tìm biến số còn lại:
    • Bạn biết rằng y = -2
    • Một trong hai phương trình ban đầu là 4x + 2y = 8. (Bạn có thể dùng một trong hai phương trình tại bước này.)
    • Thay -2 vào y: 4x + 2(-2) = 8.
    • 4x - 4 = 8
    • 4x = 12
    • x = 3
  6. 6
    Khi hai biến số triệt tiêu thì phải làm gì? Khi thay x=3y+2 hay một kết quả tương tự vào phương trình kia, bạn sẽ có một phương trình chỉ chứa một biến số. Đôi khi bạn sẽ có một phương trình "không chứa" biến số nào. Kiểm tra lại bài giải để chắc chắn rằng bạn đã thay phương trình một (đã chuyển vế) vào phương trình hai, không phải thay ngược trở lại phương trình một. Nếu bạn tự tin không mắc sai sót nào thì sẽ thu được một trong các kết quả sau:[1]
    • Nếu bạn có một phương trình không chứa biến số nào và không đúng (ví dụ 3 = 5) thì bài toán đó không có nghiệm. (Nếu vẽ đồ thị hai phương trình, bạn sẽ thấy chúng song song và không bao giờ cắt nhau.)
    • Nếu bạn có một phương trình không chứa biến số nào nhưng đúng (ví dụ 3 = 3) thì bài toán đó có vô số nghiệm. Hai phương trình này hoàn toàn giống nhau. (Nếu vẽ đồ thị hai phương trình, bạn sẽ thấy chúng là một đường thẳng duy nhất.)
    Quảng cáo

Phương pháp 2 trong 3:
Sử dụng phương pháp triệt tiêu

  1. 1
    Tìm biến số có thể triệt tiêu được. Đôi khi các phương trình vốn đã có thể "triệt tiêu" một biến khi bạn cộng chúng với nhau. Ví dụ, khi bạn cộng hai phương trình 3x + 2y = 115x - 2y = 13, "+2y" và "-2y" sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và loại bỏ tất cả biến "y" khỏi phương trình. Nhìn các phương trình trong bài toán của bạn để đánh giá xem có biến số nào có thể triệt tiêu không. Nếu không có biến số nào triệt tiêu được thì bạn tham khảo bước kế tiếp.
  2. 2
    Nhân một phương trình để triệt tiêu một biến số. (Bỏ qua bước này nếu biến số đã triệt tiêu.) Nếu hai phương trình không có biến số nào có thể tự triệt tiêu, bạn hãy biến đổi một phương trình để được điều đó. Ví dụ:
    • Bạn có hệ phương trình 3x - y = 3-x + 2y = 4.
    • Hãy biến đổi phương trình đầu tiên sao cho biến y triệt tiêu. (Bạn có thể chọn biến x và cuối cùng vẫn thu được đáp án giống nhau.)
    • Biến - y trong phương trình đầu tiên cần được triệt tiêu với + 2y trong phương trình thứ hai. Điều này có thể xảy ra nếu bạn nhân - y cho 2.
    • Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên cho 2: 2(3x - y)=2(3), do đó 6x - 2y = 6. Bây giờ - 2y sẽ triệt tiêu với + 2y trong phương trình thứ hai.
  3. 3
    Cộng hai phương trình với nhau. Để cộng hai phương trình, bạn cộng hai vế trái với nhau, sau đó cộng hai vế phải với nhau. Nếu bạn đã biến đổi đúng phương trình đầu tiên thì một trong hai biến sẽ triệt tiêu. Ví dụ sau sử dụng các phương trình tương tự với bước cuối cùng:
    • Bạn có các phương trình 6x - 2y = 6-x + 2y = 4.
    • Cộng hai vế bên trái: 6x - 2y - x + 2y = ?
    • Cộng hai vế bên phải: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  4. 4
    Giải tìm biến số còn lại. Rút gọn phương trình vừa cộng rồi sử dụng kiến thức đại số cơ bản để tìm biến số cuối cùng. 'Nếu không còn biến số nào sau khi rút gọn, bạn hãy chuyển đến bước cuối cùng trong phần này. Ngược lại, bạn sẽ thu được kết quả cho một trong các biến số. Ví dụ:
    • Bạn có 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
    • Nhóm các biến xy với nhau: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
    • Đơn giản phương trình ta có: 5x = 10
    • Giải tìm x: (5x)/5 = 10/5, do đó x = 2.
  5. 5
    Giải tìm biến số còn lại. Bạn đã tìm được một biến số nhưng công việc vẫn chưa hoàn tất. Thay kết quả vào một trong các phương trình ban đầu để bạn có thể tìm biến số còn lại. Ví dụ:
    • Bạn biết rằng x = 2, và một trong hai phương trình ban đầu là 3x - y = 3.
    • Thay 2 vào x: 3(2) - y = 3.
    • Giải tìm y trong phương trình này: 6 - y = 3
    • 6 - y + y = 3 + y, do đó 6 = 3 + y
    • 3 = y
  6. 6
    Khi hai biến số triệt tiêu thì phải làm gì? Đôi khi việc cộng hai phương trình sẽ sinh ra một phương trình vô nghĩa, hoặc phương trình đó không thể giúp bạn giải bài toán. Kiểm tra lại bài giải từ đầu, nhưng nếu không có sai sót nào thì đáp án sẽ là một trong hai trường hợp sau:[2]
    • Nếu phương trình cộng lại không có biến số nào và không đúng (như 2 = 7) thì hệ hai phương trình không có nghiệm. (Nếu vẽ đồ thị hai phương trình, bạn sẽ thấy chúng song song và không bao giờ cắt nhau.)
    • Nếu phương trình cộng lại không có biến số nào nhưng đúng (như 0 = 0) thì có vô số nghiệm. Hai phương trình này thật ra hoàn toàn giống nhau. (Nếu vẽ đồ thị của hai phương trình thì bạn sẽ thấy chúng là một đường duy nhất.)
    Quảng cáo

Phương pháp 3 trong 3:
Vẽ đồ thị phương trình

  1. 1
    Chỉ sử dụng phương pháp này khi đề bài yêu cầu. Trừ khi bạn đang dùng máy vi tính hay máy tính cầm tay có chức năng vẽ đồ thị, nhiều hệ phương trình chỉ có thể giải gần đúng với phương pháp này.[3] Giáo viên hay sách giáo khoa có thể yêu cầu bạn dùng phương pháp này để bạn quen với việc vẽ đồ thị phương trình. Bạn cũng có thể dùng phương pháp vẽ đồ thị để kiểm tra lại đáp án của các cách giải khác.
    • Ý tưởng cơ bản là vẽ đồ thị của hai phương trình và tìm giao điểm của chúng. Các giá trị x và y tại điểm này chính là giá trị của x và y trong hệ phương trình.
  2. 2
    Giải cả hai phương trình để tìm y. Tách riêng hai phương trình và dùng đại số để chuyển các phương trình về dạng "y = __x + __".[4] Ví dụ:
    • Phương trình đầu tiên là 2x + y = 5. Biến đổi nó thành y = -2x + 5.
    • Phương trình thứ hai là -3x + 6y = 0. Biến đổi nó thành 6y = 3x + 0, sau đó rút gọn thành y = ½x + 0.
    • Nếu cả hai phương trình giống hệt nhau thì toàn bộ đường thẳng sẽ là "giao điểm". Viết là vô số nghiệm.
  3. 3
    Vẽ trục tọa độ. Trên giấy vẽ đồ thị, bạn vẽ "trục y" thẳng đứng và "trục x" nằm ngang. Bắt đầu tại giao điểm của hai đường này, bạn đánh số 1, 2, 3, 4 v.v... đi lên trên trục y và từ trái qua phải trên trục x. Đánh số -1, -2 v.v... từ gốc tọa độ đi xuống trên trục y, và từ phải sang trái trên trục x.
    • Nếu bạn không có giấy vẽ đồ thị thì dùng thước đo để đảm bảo các con số cách đều nhau.
    • Nếu bạn dùng số lớn hoặc số thập phân thì cần phải chia tỷ lệ đồ thị theo cách khác. (Ví dụ 10, 20, 30 hay 0,1; 0,2; 0,3 mà không phải 1, 2, 3).
  4. 4
    Xác định giao điểm của mỗi đồ thị với trục y. Sau khi phương trình được chuyển về dạng y = __x + __, bạn bắt đầu vẽ đồ thị bằng cách tìm giao điểm của nó với trục y. Giá trị y của giao điểm luôn luôn bằng với con số cuối cùng trong phương trình này.
    • Trong ví dụ ban đầu của chúng ta, đường thẳng (y = -2x + 5) giao với trục y tại 5. Đường (y = ½x + 0) giao với trục y tại 0. (Đây là các điểm (0,5) và (0,0) trên đồ thị.)
    • Nếu được bạn nên dùng bút có màu khác nhau để vẽ hai đường thẳng.
  5. 5
    Sử dụng hệ số góc để tiếp tục vẽ đường thẳng. Dạng phương trình y = __x + __ có số phía trước x là hệ số góc của đường thẳng. Mỗi khi x tăng một đơn vị, giá trị y sẽ tăng một lượng theo hệ số góc. Sử dụng thông tin này để xác định điểm trên đồ thị cho từng đường thẳng khi x = 1. (Hoặc bạn có thể thay x = 1 vào mỗi phương trình và giải tìm y.)
    • Trong ví dụ trên, đường thẳng y = -2x + 5 có hệ số góc là -2. Tại x = 1, đường thẳng di chuyển xuống 2 đơn vị từ điểm có tọa độ x = 0. Vẽ đoạn thẳng giữa hai điểm (0,5) và (1,3).
    • Đường thẳng y = ½x + 0 có hệ số góc là ½. Tại x = 1, đường thẳng di chuyển lên ½ đơn vị từ điểm có tọa độ x = 0. Vẽ đoạn thẳng giữa hai điểm (0,0) và (1,½).
    • Nếu hai đường thẳng có hệ số góc giống nhau thì chúng không bao giờ cắt nhau, do đó hệ phương trình không có nghiệm. Viết là vô nghiệm.
  6. 6
    Tiếp tục vẽ đồ thị đường thẳng đến khi chúng cắt nhau. Tạm ngừng để quan sát đồ thị. Nếu hai đường đã cắt nhau thì bạn chuyển đến bước kế tiếp. Nếu không thì bạn sẽ phải ra quyết định dựa trên tình hình của hai đường:
    • Nếu hai đường thẳng đang di chuyển về phía nhau thì bạn tiếp tục xác định thêm các điểm theo hướng đó.
    • Nếu hai đường thẳng đang rời xa nhau, hãy xác định các điểm của đồ thị theo hướng ngược lại, bắt đầu với x = -1.
    • Nếu hai đường thẳng nằm rất xa nhau thì bạn xác định các điểm thật xa của đồ thị, chẳng hạn x = 10.
  7. 7
    Tìm nghiệm hệ phương trình tại giao điểm. Khi hai đường thẳng cắt nhau, giá trị x và y tại đó là nghiệm của bài toán. Nếu bạn may mắn thì nghiệm sẽ là số nguyên. Trong ví dụ trên, hai đường cắt nhau tại (2,1) nên nghiệm hệ phương trình là x = 2 và y = 1. Với một số hệ phương trình, các đường thẳng sẽ giao nhau tại điểm nằm giữa hai số nguyên, và bạn khó có thể đọc được giá trị trừ khi đồ thị của bạn cực kỳ chính xác. Khi trường hợp này xảy ra thì bạn có thể viết đáp án là "x nằm giữa 1 và 2", hoặc sử dụng phương pháp thay thế hay triệt tiêu để tìm nghiệm chính xác.
    Quảng cáo

Lời khuyên

  • Bạn có thể kiểm tra bài làm bằng cách thay đáp án ngược trở lại các phương trình ban đầu. Nếu các phương trình là đúng (ví dụ 3 = 3) thì đáp án chính xác.
  • Trong phương pháp triệt tiêu, đôi khi bạn sẽ phải nhân một phương trình cho một số âm để triệt tiêu một biến số.

Cảnh báo

  • Bạn không thể dùng các phương pháp này nếu phương trình có một biến số chứa số mũ, chẳng hạn x2. Để biết thêm thông tin về các phương trình dạng này, bạn hãy tìm tài liệu về phân tích phương trình bậc hai có hai biến số thành thừa số.[5]

Về bài wikiHow này

wikiHow là một trang "wiki", nghĩa là nhiều bài viết ở đây là nội dung của nhiều tác giả cùng viết nên. Để tạo ra bài viết này, 50 người, trong đó có một số người ẩn danh, đã thực hiện chỉnh sửa và cải thiện bài viết theo thời gian.
Chuyên mục: Toán học

Bài viết này đã giúp ích cho bạn?

Không
Quảng cáo